当事业单位保险出现断交情况时，可以采取以下措施进行处理：

一、核实保险断交情况

首先，应联系事业单位的人力资源部门或负责保险事务的相关部门，了解具体情况并核实保险是否真的已经断交。有时候可能是系统错误或者遗漏导致保险费未及时扣缴。
 

二、与单位协商补缴

如果保险确实已经断交，可以与单位进行协商，要求单位尽快补缴社保费用。在协商过程中，可以依据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，强调单位缴纳社保的法律责任和义务。单位应出具书面申请，陈述补交的事实及理由，并向社会保险经办机构提交申请，同时准备相关的原始资料，如职工档案、合同书、录用审批表、有效证明材料等。

三、向社保部门咨询和举报

如果与单位协商无果，员工可以向当地社保部门咨询，了解事业单位中断缴纳社保的具体情况和可能产生的影响。社保部门会根据相关法律法规为员工提供专业的指导和建议。同时，如果事业单位无正当理由中断缴纳社保，员工还可以向社保部门举报。根据《中华人民共和国社会保险法》第八十六条，社保部门会责令单位限期缴纳或者补足，并自欠缴之日起，按日加收万分之五的滞纳金。逾期仍不缴纳的，由有关行政部门处欠缴数额一倍以上三倍以下的罚款。

四、个人续缴或转移保险

如果是因为离职等原因导致保险中断，且单位无法补缴或不愿意补缴，个人可以选择以下方式处理：

个人续缴：如果不打算在短时间内再就业，可以选择以灵活就业人员的名义办理继续缴费。灵活就业人员通常只缴纳养老保险和医疗保险，缴费标准根据不同地区的规定而定。具体做法是将相关的养老保险手册、个人账户登记卡片等交给第三方机构，委托其代为缴纳社会养老保险，缴费标准和原单位一样。

保险转移：如果前往异地工作，需要在新单位续保，应办理养老保险转移手续。具体步骤包括向转入地的社保机构递交养老保险关系转移接续申请表，并提供相关资料。转入地的社保机构将审核资料，并对符合条件的申请开具联系函，向原参保地发出。

五、申请劳动仲裁或提起诉讼

如果以上措施均无法解决问题，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位补缴社保费用并支付相应的经济补偿。如果对劳动仲裁结果不满，还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

六、考虑个人购买保险产品

如果事业单位保险无法恢复或者对保险福利不满意，可以考虑个人购买意外险等保险产品。根据职业等级和风险情况选择合适的保险产品，确保自身在意外情况下能够得到保障。

综上所述，事业单位保险断交后，个人应根据自身情况选择合适的处理方式，并积极与单位协商、向社保部门咨询举报、申请劳动仲裁或提起诉讼等措施来维护自己的权益。同时，也要注意保留好相关证据和资料，以便在维权过程中提供有力的支持。

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